常微分方程学习笔记

写在所有之前

这篇是我之前复习常微分方程时写的小玩意儿，因为博客实在是太空了就拿上来充牌面了(๑•̀ㅂ•́)و✧

基本概念

方程的阶、线性方程和非线性方程

阶数

如 \[ \frac{dy}{dx}=x^2+y^2 \]

就为一阶方程

方程的阶数为其出现的最高阶导数的阶数

线性

但其不是一线性微分方程，因为其中包含有 \(y^2\) 项

线性微分方程： 若方程 \(F(x,y,\frac{dy}{dx},...,\frac{d^ny}{dx^n})=0\) 中关于 \(y\) 与其任意阶导数项皆为有理一次整式，则其为线性微分方程

下为一个线性微分方程的例子 \[ \frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}+y=3e^x \]

齐次性

我们一般称 \(F(y,\dfrac{dy}{dx},\cdots,\dfrac{d^ny}{dx^n})=0\) 这种类型的为齐次的

则 \(F(f(x),y,\dfrac{dy}{dx},\cdots,\dfrac{d^ny}{dx^n})=0,f(x)\ne0\) 则为非齐次的

解、通解、特解和初值条件

通解

常微分方程的解中含有的独立任意常数的个数与方程的阶数相等

特解

方程满足初值条件的解

初值问题

诸如求解 \[ \left\{\begin{matrix} \dfrac{dy}{dx}=f(x,y)\\\\ y|_{x=x_0}=y_0 \end{matrix}\right. \] 问题被称为一阶微分方程的初值问题，也被称为柯西问题

线性相关与判据

函数的线性相关性

设 \(y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)\) 为定义在区间 \(I\) 内的 \(n\) 个函数，如果存在 \(n\) 个不全为 \(0\) 的常数 \(C_1,C_2,...,C_n\)，使得对 \(\forall x \in I\) 都有 \[ C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\cdots+C_ny_n(x)=0 \] 则称这 \(n\) 个函数在区间 \(I\) 上是线性相关的，否则则称它们是线性无关的

线性相关（无关）的判定

朗斯基行列式

定义朗斯基行列式 \[ W(x)= \left | \begin{matrix} y_1(x)& y_2(x)&\cdots&y_n(x)\\ y'_1(x)&y'_2(x)&\cdots&y'_n(x)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ y^{(k-1)}_1(x)&y^{(k-1)}_2(x)&\cdots&y^{(k-1)}_n(x) \end{matrix} \right | \]

\(n\) 阶齐线性方程的 \(n\) 个解 \(y_1(x),y_2(x),...,y_n(x)\) 在其定义区间 \(I\) 上线性无关的充要条件是 \[ \exists x_0 \in I \Rightarrow W(x_0) \ne 0 \]

线性常微分方程组

矩阵函数

对于一阶线性常微分方程组： \[ \left\{\begin{matrix} \dfrac{dx_1}{dt}=a_{11}(t)x_1+a_{12}(t)x_2+\cdots+a_{1n}(t)x_n+f_1(t)\\\\ \dfrac{dx_2}{dt}=a_{21}(t)x_1+a_{22}(t)x_2+\cdots+a_{2n}(t)x_n+f_2(t)\\\\ .....................................................................\\\\ \dfrac{dx_n}{dt}=a_{n1}(t)x_1+a_{n2}(t)x_2+\cdots+a_{nn}(t)x_n+f_n(t) \end{matrix}\right.\tag{4-1} \]

其中 \(a_{ij}(t),f_i(t)\) 均是关于 \(t\) 的已知函数

记 \[ \pmb{A}(t)= \begin{bmatrix} a_{11}(t)&a_{12}(t)&\cdots&a_{1n}(t)\\ a_{21}(t)&a_{22}(t)&\cdots&a_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\\ a_{n1}(t)&a_{n2}(t)&\cdots&a_{nn}(t)\\ \end{bmatrix} \]

和 \[ \vec{f}(t)= \begin{bmatrix} f_1(t)\\ f_2(t)\\ \vdots\\ f_n(t) \end{bmatrix} \]

和 \[ \vec{x}(t)= \begin{bmatrix} f_1(t)\\ f_2(t)\\ \vdots\\ f_n(t) \end{bmatrix} \]

和 \[ \frac{d\vec{x}}{dt}= \begin{bmatrix} \dfrac{dx_1}{dt}\\ \dfrac{dx_2}{dt}\\ \vdots\\ \dfrac{dx_n}{dt} \end{bmatrix} \]

则 （4-1） 可表示为 \[ \frac{d\vec{x}}{dt}=\pmb{A}(t)\vec{x}+\vec{f}(t) \]

求解一阶常微分方程

分离变量法

分离变形后直接积分

变量代换

齐次化

为求解如 \[ \frac{dy}{dx}=f(x,y) \] 的形式

如果有\(f(x,y)\equiv g(\frac{y}{x})\)则做变量代换\(y=u x\)可化原方程为 \[ \frac{du}{dx}=\frac{g(u)-u}{x} \] 此时分离后可直接积分

二元一次分式

为求解方程 \[ \frac{dy}{dx}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2} \] 且其满足 \[ \left\{\begin{matrix} a_1^2+a_2^2\ne 0\\ b_1^2+b_2^2\ne 0\\ a_1^2+b_2^2\ne 0\\ a_2^2+b_1^2\ne 0 \end{matrix}\right. \] > 当上述限制条件不存在时，其是容易分离后直接积分的

我们分三种情况讨论

(1)当 \(c_1=c_2=0\)

容易得 \[ \frac{dy}{dx}=\frac{a_1+b_1\frac{y}{x}}{a_2+b_2\frac{y}{x}} \] 只需用齐次化的方式处理即可求解

(2)当 \(c_1^2+c_2^2\ne 0,\left|\begin{matrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{matrix}\right|=0\)

此时有 \(a_1b_2=a_2b_1\)

Ⅰ \(a_2b_2\ne 0\)

令 \[ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=k \] 则有 \[ \frac{dy}{dx}=\frac{k(a_2x+b_2y)+c_1}{a_2x+b_2y+c_2} \] 做代换\[u=a_2x+b_2y\]

上式化为 \[ \frac{du}{dx}=a_2+b_2\frac{dy}{dx}=a_2+b_2\frac{ku+c_1}{u+c_2} \] 而此式是容易分离后积分的

Ⅱ \(a_2b_2=0\)

此时有 \(a_2=b_2=0\)

即 \[ \frac{dy}{dx}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{c_2} \] 令 \[ u=a_1x+b_1y \] 则 \[ \frac{du}{dx}=a_1+\frac{b_1}{c_2}(u+c_1) \]

(3) 当 \(c_1^2+c_2^2\ne 0,\left|\begin{matrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{matrix}\right|\ne0\)

由\(\left|\begin{matrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{matrix}\right|\ne0\)知 \[ \left\{\begin{matrix} a_1x+b_1y+c_1=0\\ a_2x+b_2y+c_2=0 \end{matrix}\right. \] 是有解的

其解 \[ \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_0\\y_0 \end{bmatrix} \] 考虑平移变换 \[ \left\{\begin{matrix} x=X+x_0\\ y=Y+y_0 \end{matrix}\right. \] 代入化简得 \[ \frac{dY}{dX}=\frac{a_1X+b_1Y}{a_2X+b_2Y} \] 此式是为齐次化后容易求解的

类轮换对称式（随便取的名）

方程 \[ yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 \] 做代换 \[ u=xy \] 即 \[ du=ydx+xdy \] 带入得 \[ yf(u)dx+g(u)(du-ydx)=0 \]

\[ g(u)du=y[g(u)-f(u)]dx=\frac{u}{x}[g(u)-f(u)]dx \] 整理得 \[ \frac{g(u)}{u[g(u)-f(u)]}du=\frac{dx}{x} \] 此式是可直接积分求解的

常数变易法

通解公式

一阶线性方程可以写成 \[ \frac{dy}{dx}=p(x)y+q(x) \] 并称 \[ \frac{dy}{dx}=p(x)y \] 为上式对应的齐线性方程

齐线性方程是易解的，其通解为 \[ y=Ce^{\int p(x)dx} \] 猜测非齐线性方程通解具有类似形式，即 \[ y=C(x)e^{\int p(x)dx} \] 带入得 \[ \frac{dC(x)}{dx}=q(x)e^{-\int p(x)dx} \] 故 \[ C(x)=\int q(x)e^{-\int p(x)dx}dx+\tilde{C} \] 回代得 \[ y=e^{\int p(x)dx}[\int q(x)e^{-\int p(x)dx}dx+C] \]

伯努利方程

称 \[ \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n \] 且满足\((n\ne 0,1)\)的方程为伯努利方程

容易观察到到 \(y=0\) 为一解，当 \(y\ne 0\) 时，两边同乘 \(y^{-n}\) 得 \[ y^{-n}\frac{dy}{dx}+p(x)y^{1-n}=q(x) \] 令 \[ y^{1-n}=z \] 则有 \[ \frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx} \] 回代得 \[ \frac{dz}{dx}+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x) \] 这是一一阶非齐线性常微分方程，可通过通解公式求解

凑全微分法和积分因子法

恰当方程

若对 \[ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \] 恰好有 \[ du(x,y)\equiv M(x,y)dx+N(x,y)dy \] 则称其为恰当方程或全微分方程

则其通积分 \[ u(x,y)= C \] 即所求通解

恰当方程的验证

若对 \[ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \] 有 \[ \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} \] 则其为恰当方程，否则不是恰当方程

\(u(x,y)\) 的求解

显然 \[ \left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial u}{\partial x}=M(x,y)\\\\ \dfrac{\partial u}{\partial y}=N(x,y) \end{matrix}\right. \] 对其积分得 \[u(x,y)=\int M(x,y)dx+\varphi(y)\] 则有 \[ \frac{\partial u}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y} \int M(x,y)dx +{\varphi}'(y) \] 故 \[ {\varphi}'(y)=N(x,y)- \frac{\partial}{\partial y} \int M(x,y)dx \] 积分后回代即可求出 \(u(x,y)\)

若考虑 \[ u(x,y)=\int N(x,y)dy+\phi(x) \] 其过程也是类似的

凑全微分法

这个靠感觉，给个例题感受下

例1.求解方程 \((3x^2+6xy^2)dx+(6x^2y+4y^3)dy=0\)

解:

显然其为恰当方程，整理得 \[ d(x^3)+d(y^4)+d(3x^2y^2)=0 \] 即 \[ d(x^3+y^4+3x^2y^2)=0 \] 通积分得 \[ x^3+y^4+3x^2y^2=C \]

常用的全微分公式

\[d(xy)=ydx+xdy\]

\[d(x^2siny)=2xsinydx+x^2cosydy\]

\[d(\frac{x}{y})=\frac{ydx-xdy}{y^2}\]

\[d(\frac{y}{x})=\frac{xdy-ydx}{x^2}\]

\[d(ln|\frac{x}{y}|)=\frac{ydx-xdy}{y^2}\]

\[d(arctan\frac{x}{y})=\frac{ydx-xdy}{x^2+y^2}\]

积分因子法

若对 \[ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \] 有 \[ \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\ne 0 \] 假定存在 \(\mu(x,y)\) 使得 \[ \mu(Mdx+Ndy)\equiv du(x,y) \] 则称其为原方程的一积分因子

积分因子的求法

公式法

对于 \[ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \] 有 \[ \left\{\begin{matrix} \varphi (x)\equiv \dfrac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N}\\\\ \psi (y)\equiv \dfrac{\dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y}}{M} \end{matrix}\right. \] 则 \[ \left\{\begin{matrix} \mu(x)=e^{\int\varphi(x)dx}\\ \mu(y)=e^{\int\psi(y)dy} \end{matrix}\right. \]

逆推法（不记公式，看个人喜好）

对于 \[ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \] 假定存在 \(\mu(x)\)使得 \[ \frac{\partial(\mu(x)M)}{y}-\frac{\partial(\mu(x)N)}{\partial x}=0 \] 求解上述方程即可求出 \(\mu(x)\) ，同理也可求出 \(\mu(y)\)

由于实际题目中可能 \(\mu(x)\) 是易求的，也可能 \(\mu(y)\) 是易求的，运气差的话要尝试2次

引入参数法

可解出未知函数（或未知量）的方程

\(y=f(x,\frac{\partial y}{\partial x})\)

引入参数 \(\dfrac{\partial y}{\partial x}=p\) ,则有 \[ p=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{dp}{dx} \] 这是可解的，其其通解满足以下形式 \[ p=\varphi(x,C) \longrightarrow y=f(x.\varphi(x,C)) \]

\[ x=\psi(p,C) \longrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\psi(p,C)\\ y=f(\psi(p,c),p) \end{matrix}\right. \]

\[ \Phi(x,p,C)=0 \longrightarrow \left\{\begin{matrix} \Phi(x,p,C)=0\\ y=f(x,p) \end{matrix}\right. \]

\(x=f(y,\frac{dy}{dx})\)

引入参数 \(\frac{dy}{dx}=p\) ,则原方程变为 \[ x=f(y,p) \] 对 \(y\) 求导有 \(\frac{dx}{dy}=\frac{1}{p}\) 故 \[ \frac{1}{p}=\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{dp}{dy} \]

不显含未知函数（或自变量）的方程

不显含 \(y\) 的方程

\[ F(x,y')=0 \] 令 \(y'=p\) 则方程变为 \[ F(x,p)=0 \] 其存在一参数形式 \[ x=\varphi(t),p=\psi(t) \] 则有 \[ dy=pdx=\psi(t)\varphi'(t)dt \] 综上，有其参数形式通解 \[ \left\{\begin{matrix} x=\varphi(t)\\ y=\int\psi(t)\varphi'(t)dt+C \end{matrix}\right. \]

不显含 \(x\) 的方程

\[ F(y,y')=0 \] 令 \(y'=p\) ，方程化为 \[ F(y,p)=0 \] 其存在一参数形式 \[ y=\varphi(t),p=\psi(t) \] 则有 \[ dx=\frac{dy}{p}=\frac{\varphi'(t)}{\psi(t)}dt \] 综上，有其参数形式通解 \[ \left\{\begin{matrix} x=\int\dfrac{\varphi'(t)}{\psi(t)}dt+C\\ y=\varphi(t) \end{matrix}\right. \]

求解高阶常微分方程

非常系数微分方程

齐线性微分方程

齐线性微分方程解的结构

如果 \(y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)\) 是齐线性方程在定义区间 \(I\) 的 \(n\) 个线性无关的解则方程的通解为 \[ y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\cdots+C_ny_n(x) \] 其中 \(C_1,C_2,\cdots,C_n\) 为任意常数，并称 \(y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)\) 为原方程的基本解组

观察法求解二阶齐线性微分方程

可能的简单特解

对于方程 \[ y''+p_1(x)y'+p_2(x)y=0 \] (1).当 \(p_1(x)+xp_2(x)=0\) 时， \(y=x\) 为其一解 (2).当 \(1+p_1(x)+p_2(x)=0\) 时 \(y=e^x\) 为其一解 (3).当 \(1-p_1(x)+p_2(x)=0\) 时， \(y=e^{-x}\) 为其一解 (4).当 \(\lambda^2+\lambda p_1(x)+p_2(x)=0\) 时， \(y=e^{\lambda x}\) 为其一解

代入法求另一解

设 \(y_1\) 为 \(y''+p_1(x)y'+p_2(x)y=0\) 的一个非零特解 则可设 \(y_2=C(x)y_1\) 为其另一与 \(y_1\) 线性无关的解 代入原方程化简得 \[ (2y_1'+p_1(x)y1)C'(x)+y_1C''(x)=0 \] 分离变量后积分得 \[ C(x)=\int\dfrac{e^{-\int p_1(x)dx}}{y_1^2}dx \] 带回得 \[ y_2=y_1\int\dfrac{e^{-\int p_1(x)dx}}{y_1^2}dx \]

非齐线性微分方程

非齐线性微分方程解的结构

设 \(y^*\) 为 \(y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x)y'+p_n(x)y=f(x)\) 的一特解， \(\bar{y}=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\cdots+C_ny_n(x)\) 为原方程对应的齐线性方程的通解，则 \(y=\bar{y}+y^*\) 为其通解

特解的求解

设 \[ y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\cdots+C_ny_n(x) \tag{3-10} \] 为 \[ y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x)y'+p_n(x)y=0\tag{3-2} \] 的通解

常数变易法得 \[ y=C_1(x)y_1(x)+C_2(x)y_2(x)+\cdots+C_n(x)y_n(x) \tag{3-11} \] 对 \(x\) 求导得 \[ y'=C_1(x)y'_1(x)+C_2(x)y'_2(x)+\cdots+C_n(x)y'_n(x)+\\ y_1(x)C_1'(x)+y_2(x)C_2'(x)+\cdots+y_n(x)C'_x(x) \] 为求解 \(C_i(x)\) ，需要 \(n-1\) 个限制条件 令 \[ y_1(x)C_1'(x)+y_2(x)C_2'(x)+\cdots+y_n(x)C'_n(x)=0 \tag{3-11-1} \] 得 \[ y'=C_1(x)y'_1(x)+C_2(x)y'_2(x)+\cdots+C_n(x)y'_n(x) \tag{3-12-1} \] 同理有条件 \[ y_1'(x)C_1'(x)+y_2'(x)C_2'(x)+\cdots+y_n'(x)C'_n(x)=0 \tag{3-11-2} \] 和表达式 \[ y''=C_1(x)y''_1(x)+C_2(x)y''_2(x)+\cdots+C_n(x)y''_n(x) \tag{3-12-2} \] 重复上述操作有第 \(n-1\) 个条件 \[ y_1(x)^{(n-2)}C_1'(x)+y_2(x)^{(n-2)}C_2'(x)+\cdots+y_n(x)^{(n-2)}C'_n(x)=0 \\ \tag{3-11-(n-1)} \] 与表达式 \[ y^{(n-1)}=C_1(x)y^{(n-1)}_1(x)+C_2(x)y^{(n-1)}_2(x)+\cdots+C_n(x)y^{(n-1)}_n(x) \\ \tag{3-12-(n-1)} \] 最终对式 (3-12-(n-1)) 再求导得 \[ y^{(n)}=C_1(x)y^{(n)}_1(x)+C_2(x)y^{(n)}_2(x)+\cdots+C_n(x)y^{(n)}_n(x)+\\ y_1^{n-1}(x)C_1'(x)+y_2^{n-1}(x)C_2'(x)+\cdots+y_n^{n-1}(x)C_n'(x)+ \] 回代得 \[ y_1(x)^{(n-1)}C_1'(x)+y_2(x)^{(n-1)}C_2'(x)+\cdots+y_n(x)^{(n-1)}C'_n(x)=f(x) \\ \tag{3-11-n} \] 所以 (3-11-1),(3-11-2),...,(3-11-n), 构成了一个线性方程组，且其系数矩阵的行列式即为原非齐线性方程对应的齐线性方程的一基础解组的朗斯基行列式，其恒不等于0，所以该线性方程组有唯一解

设求得 \[ C_i'(x)=\varphi'_i(x) \] 则有 \[ C_i(x)=\int\varphi'_i(x)dx+k_i \] 回代得 \[ y=\sum_{i=1}^{n}{[\int\varphi'_i(x)dx+k_i]y_i(x)} \] 取 \(k_i=0\) ，则得解 \[ y=\sum_{i=1}^{n}{y_i(x)\int\varphi'_i(x)dx} \]

常系数微分方程

常系数齐线性微分方程

特征根法

二阶常系数齐线性方程的特征根法

二阶常系数齐线性方程的一般形式为 \[ y''+p_1y'+p_2y=0 \tag{3-14} \] 其中 \(p_1,p_2\) 是常数，称 \(r^2+p_1r+p_2=0\) 为该方程的特征方程， \(r_1,r_2\) 为其两根称为特征根，接下来对特征根分别讨论

（1） \(r_1 \ne r_2,r_1 \in R,r_2 \in R\)

两个线性无关的特解分别为 \[ y_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x} \] 通解为 \[ y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} \]

（2） \(r_1=r_2=-\dfrac{p_1}{2},r_1 \in R,r_2 \in R\)

特解 \[ y_1=e^{rx},y_2=xe^{rx} \] 通解 \[ y=C_1e^{rx}+C_2xe^{rx}=(C_1+C_2x)e^{rx} \]

（3） \(r_{1,2}=\alpha\pm i\beta,\beta\ne0,r_{1,2}\in C\)

特解 \[ y_1=e^{\alpha x}cos\beta x,y_2=e^{\alpha x}sin\beta x, \] 通解 \[ y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x) \]

高阶常系数齐线性方程的解

特征方程的根	微分方程对应的线性无关解
(Ⅰ)单实根 \(r\)	对应一个解: \(y_1=e^{rx}\)
(Ⅱ)一对单虚根 $r_{1,2}=i$	对应两个线性无关解: \(y_1=e^{\alpha x}cos\beta x,y_2=e^{\alpha x}sin\beta x\)
(Ⅲ) \(k\) 重实根 \(r\)	对应 \(k\) 个线性无关解: \(y_1=e^{rx},y_2=xe^{rx},\cdots,y_k=x^{k-1}e^{rx}\)
(Ⅳ)一对 \(k\) 重虚根 \(r_{1,2}=\alpha\pm i\beta\)	对应 \(2k\) 个线性无关解: \(y_1=e^{\alpha x}cos\beta x,y_2=e^{\alpha x}sin\beta x;y_3=xe^{\alpha x}cos\beta x,y_4=xe^{\alpha x}sin\beta x;\cdots \cdots;y_{2k-1}=x^{k-1}e^{\alpha x}cos\beta x,y_{2k}=x^{k-1}e^{\alpha x}sin\beta x\)

常系数非齐线性微分方程

待定系数法求解二阶常系数非齐线性微分方程的特解

二阶常系数非齐微分方程的一般形式为 \[ y''+p_1y'+p_2y=f(x)\tag{3-17} \]

类型Ⅰ \(f(x)=e^{\lambda x}Q(x)\) ，\(\lambda\) 为常数， \(p_m(x)\) 为 \(m\) 次多项式

则 （3-17） 有如下形式的特解 \[ y^*=x^ke^{\lambda x}Q_m(x)\tag{3-18} \] 其中 \(Q_m(x)\) 为 \(m\) 次多项式， \(k\) 为 \(\lambda\) 作为 （3-17） 的特征方程的根的重数（如果 \(\lambda\) 不是特征根，则取 \(k=0\) ） 为求 \(Q_m(x)\) ，将 （3-18） 回代 （3-17） 后展开并比较系数即可

类型Ⅱ \(f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)cos\beta x+Q_n(x)sin\beta x]\) , \(\alpha,\beta\) 为常数， \(P_l(x),Q_n(x)\) 分别为 \(l,n\) 次多项式

此时，方程 （3-17） 具有如下形式的特解 \[ y^*=x^ke^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)cos\beta x+R_m^{(2)}(x)sin\beta x] \] 其中 \(\alpha\pm i\beta\) 不是特征方程的根时， \(k=0\) ；当 \(\alpha\pm i\beta\) 是特征方程的根时， \(k=1\) ； \(R_m^{(1)}(x),R_m^{(2)}(x)\) 是 \(m\) 次多项式， \(m=max\{l,n\}\)

可降阶的常微分方程

\(y^{(n)}=f(x)\) 型的方程

两边同时积分

\(F(x,y^{(k)},y^{(k+1)},\cdots,y^{(n)})=0\) 型的方程，且满足 \((1\le k\le n)\)

对于方程 \[ F(x,y^{(k)},y^{(k+1)},\cdots,y^{(n)})=0\tag{3-29} \] 作变量代换 \(y^{(k)}=p\) ，则有 \[ F(x,p',p'',\cdots,p^{(n-k)})=0\tag{3-30} \] 如果 （3-30） 有通解 \[ y^{(k)}=p=\varphi(x,C_1,C_2,\cdots,C_{n-k}) \] 两边同时积分可求解

\(F(y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0\) 型的方程

对于方程 \[ F(y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0 \] 作变量代换 \(y'=p\) 则有 \[ \frac{dy}{dx}=p\\ \frac{d^2x}{dy^2}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}\\ \frac{d^3p}{dy^3}=\frac{d}{dx}(p\frac{dp}{dy})=p\frac{d}{dy}(p\frac{dp}{dy})=p^2\frac{d^2p}{dy^2}+p(\frac{dp}{dy})^2\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \] 逐步回代后可将方程降阶为易求的形式

\(F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=\frac{d}{dx}\varPhi(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})=0\) 型的方程

先求解 \[ \varPhi(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})=C \]

再继续考虑求解原方程

求解常系数一阶常微分方程组

常系数一阶齐线性常微分方程组

常系数齐线性常微分方程组通解的结构

向量函数的线性无关与朗斯基行列式

设 \(\vec{\varphi}_1(t),\vec{\varphi}_2(t),\cdots,\vec{\varphi}_m(t)\) 为定义在 \(I\) 上的 \(m\) 个 \(n\) 维向量函数，如果存在 \(m\) 个不全为 \(0\) 的常数 \(C_1,C_2,\cdots,C_m\) 使得 \[ \forall t \in I \Rrightarrow C_1\vec{\varphi}_1(t)+C_2\vec{\varphi}_2(t)+\cdots+C_m\vec{\varphi}_m(t)\equiv0 \] 则称其为在区间 \(I\) 上是线性相关的，否则则称为是线性无关的

设由 \(\vec{\varphi}_1(t),\vec{\varphi}_2(t),\cdots,\vec{\varphi}_m(t)\) 构成的朗斯基行列式 \[ W(x)= \begin{vmatrix} {\varphi}_{11}(t)&{\varphi}_{12}(t)&\cdots&{\varphi}_{1n}(t)\\ {\varphi}_{21}(t)&{\varphi}_{22}(t)&\cdots&{\varphi}_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ {\varphi}_{n1}(t)&{\varphi}_{n2}(t)&\cdots&{\varphi}_{nn}(t) \end{vmatrix} \]

则有 \[ \vec{\varphi}_1(t),\vec{\varphi}_2(t),\cdots,\vec{\varphi}_m(t)在区间I上线性相关\Rightarrow \forall t \in I,W(t)\equiv 0 \]

基本解组与基解矩阵

对于齐线性微分方程组 \[ \frac{d\vec{x}}{dt}=\pmb{A}(t)\vec{x} \tag{4-6} \]

如果 \(\vec{\varphi}_1(t),\vec{\varphi}_2(t),\cdots,\vec{\varphi}_n(t)\) 是 （4-6） 在区间 \(I\) 上的 \(n\) 个线性无关的解，那么称这组向量函数为原方程组的基本解组

记一 \(n\times n\) 矩阵 \(\pmb{\varPhi}(t)\) 的每一列都是 （4-6） 的一个解 \(\varphi_i(t)\)

即 \[ \pmb{\varPhi}(t)=(\vec{\varphi}_1(t),\vec{\varphi}_2(t),\cdots,\vec{\varphi}_n(t)) \]

所以 \[ \pmb{\varPhi}(t)=\begin{vmatrix} {\varphi}_{11}(t)&{\varphi}_{12}(t)&\cdots&{\varphi}_{1n}(t)\\ {\varphi}_{21}(t)&{\varphi}_{22}(t)&\cdots&{\varphi}_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ {\varphi}_{n1}(t)&{\varphi}_{n2}(t)&\cdots&{\varphi}_{nn}(t) \end{vmatrix} \]

则称 \[ \pmb{\varPhi}(t) \]

为式 （4-6） 的一个解矩阵，若满足 \(\forall t \in I,det\pmb{\varPhi}(t)\ne 0\) 则称其为 （4-6） 的一个基解矩阵

待定系数法法求解常系数一阶齐线性微分方程组

系数矩阵的特征根都为单根

若系数矩阵有 \(n\) 个不同的特征根 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) 且 \(\vec{T}_i\) 为 \(\lambda_i\) 所对应的特征向量则其基解矩阵 \[ \pmb{\varPhi}(t)=(\vec{T}_1(t)e^{\lambda_1 t},\vec{T}_2(t)e^{\lambda_2 t},\cdots,\vec{T}_n(t)e^{\lambda_n t}) \]

系数矩阵的特征根存在重根

设系数矩阵有 \(m\) 个不相同的特征根 \(\lambda_i,(i\le m)\) 对应的重数为 \(k_i\) 且有 \(\sum_{i=1}^{m}k_i=n\) ，则对于特征根 \(\lambda_i\) ，方程组有 \(k_i\) 个如下形式的线性无关的解 \[ \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{10}\\ a_{20}\\ \vdots\\ a_{n0} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{n1} \end{bmatrix}t+ \cdots+ \begin{bmatrix} a_{1,k_i-1}\\ a_{2,k_i-1}\\ \vdots\\ a_{n,k_i-1} \end{bmatrix}t^{k_i-1} \end{bmatrix}e^{\lambda_it} \]

系数矩阵的特征根存在虚根

若存在虚数解 \(\vec{z}(t)=\vec{\varphi}(t)+i\vec{\psi}(t)\) 则其实部和虚部都是原方程的解

常系数一阶非齐线性微分方程组的求解

对于 \[ \frac{d\vec{x}}{dt}=\pmb{A}(t)\vec{x}+\vec{f}(t) \] 采用待定系数法求解其特解 \(\varphi^*(t)\)

\(\vec{f}(t)=(P_1(t),P_2(t),\cdots,P_n(t))^Te^{\alpha t}\) 其中 \(P_i(t)\) 是关于 \(t\) 的多项式

此时存在如下形式的特解 \[ \varphi^*(t)=(Q_1(t),Q_2(t),\cdots,Q_m(t))^Te^{\alpha t} \] 其中 \(Q_i(t)\) 是关于 \(t\) 的待定多项式，它们的次数都是 \(m+l\) 次 ， \(m\) 为 \(P_i(t)\) 的最高次数；当 \(\alpha\) 为特征根时， \(l\) 为其重数，否则 \(l=0\) ，将上述形式回代到原方程后展开并比较系数即可解得其一特解

\(\vec{f}(t)=(P_1(t)cos\beta t,\tilde{P}_1sin\beta t,\cdots,P_n(t)cos\beta t,\tilde{P}_n sin\beta t)^Te^{\alpha t}\) 其中 \(P_i(t),\tilde{P}_i(t)\) 均是关于 \(t\) 的多项式

此时存在如下形式的特解 \[ \varphi^*(t)=(Q_1(t)cos\beta t,\tilde{Q}_1sin\beta t,\cdots,Q_n(t)cos\beta t,\tilde{Q}_n sin\beta t)^Te^{\alpha t} \]

其中 \(Q_i(t),\tilde{Q}_i(t)\) 是关于 \(t\) 的待定实系数多项式，它们的次数都是 \(m+l\) 次 ， \(m\) 为 \(P_i(t),\tilde{P}_i(t)\) 的最高次数；当 \(\alpha+i\beta\) 为特征根时， \(l\) 为其重数，否则 \(l=0\) ，将上述形式回代到原方程后展开并比较系数即可解得其一特解

附录

鸣谢

非常感谢 [隐私原因，已删除]大佬 允许我使用他的思维导图作为模板创作了这篇小文 ψ(｀∇´)ψ

版本历史记录

2021/7/2 发布 v1.0.0

2021/7/2 本地存档，未发布 v1.0.1 增加了许可协议的详细描述，修正了一些小错误

2021/7/3 发布 v1.1.0 完成所有ToDo任务